Lectura “Los números reales”

Los números naturales son considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad. Inicialmente su representación fue hecha por medios de marcas, agregando una marca por cada unidad adicional, por ejemplo, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIII, IIIIIII……..
Si observamos este tipo de representación para ciertos valores, deja de ser conveniente, intenta de esta manera representar el número 68. Esto cambia si las marcas se agrupan como se muestra a continuación, tal y como se hace en algunos conteos: I, II, III, IIII, I, I, II…..
Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números. El antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos:
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω
Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales, y parecen estar más cerca del método de las marca. Para agrupar emplean un solo símbolo para representar algunas cantidades (IIIII viene a ser V) e introducen la convención de que IV denota “una antes que cinco”. Algunos números romanos son: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI…..
En nuestro sistema numérico también se representan los números naturales, como lo has estudiado en tus cursos de matemáticas anteriores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…..
Se puede argumentar, y con razón, que cualquiera de los sistemas anteriores es más razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal, puesto que se puede ver, por lo menos, cierta lógica en la secuencia de los números. En los primeros dos ejemplos la lógica es clara, en el tercero la lógica consiste en una convención familiar que se pide prestada al alfabeto.
Los números romanos se construyen de una forma muy natural, empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas, con nuevos símbolos como: V, X, L, C, D, M, etc., los cuales se introducen cuando es necesario. En contraste, nuestro sistema decimal empieza con diez distinto símbolos abstractos y a excepción del uno, que es igual en casi todos los sistemas, cada símbolo parece por completo ajeno y sin relación con el número que representa.
La primera ventaja considerable de nuestro sistema la encontramos cuando contamos números grandes. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un número. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin, mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica.
Los números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales), cero y enteros negativos (naturales negativos). En este tipo de números aparecen los números negativos.
La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.C. y siempre se les rechazó porque se pensaba que no correspondían a la solución de problemas prácticos. Fueron llamados “absurdos” por Diofano en el siglo III d.C., y por el alemán Michel Stifel, brillante estudioso del álgebra del siglo XIV; Cardano los llamo “ficticios”, y en sus trabajos para dibujar rectas tangentes a curvas de 2º grado, para Descartes eran “raíces falsas”.
Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos; aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar números positivos y negativos; éstas las enunciaron de forma indirecta porque no usaban los signos + y -.
Los números racionales.- Un número racional es aquel que se expresa como el cociente de dos números enteros, con la condición de que el divisor no sea cero. Por ejemplo: 3, 1/2, 29/100, 2.157. Cuando se escriben en su forma decimal, presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. En la antigua Grecia los pitagóricos (llamados así en honor a su fundador Pitágoras) pensaban que todo se relacionaba con números enteros o con razones de números enteros. Por ejemplo, asociaron el 2 con el hombre, al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio. Observaron que en un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava; la razón 3 a 2, una quinta; y la razón 4 a 3, una cuarta, que son unas de las armonías más agradables al oído. Este descubrimiento es considerado el primero de la física-matemática.
Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales a 1, la hipotenusa, llamada c, debe satisfacer la ecuación:
c^2=1^2+1^2=2
Entonces descubrieron que c no puede ser un número racional. Esto causó una grave crisis en la filosofía griega de aquel momento.
Los números irracionales.- Como ya se dijo, si: c^2=1^2+1^2=2, los pitagóricos descubrieron que c no puede ser un número racional. Este tipo de números son llamados irracionales, una de sus características es que poseen una cadena de decimales que no tiene fin y cuya sucesión no es periódica, por ejemplo: √2=1.41421356……,e ,π,etc.
Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en los cursos de matemáticas desde la educación primaria hasta el semestre pasado de este bachillerato tecnológico. Al conjunto de todos estos números se les conoce como los números reales. Extraido del libro matemáticas “cálculo diferencial” de Benjamín Garza Olvera y del libro Cálculo de Hipolito Orduño Vega

Cuestionario 2 relacionado con la lectura “Los números reales”

I.- Conteste las siguientes preguntas con base en la lectura “Los números reales”:
Menciona las características de los números naturales.
Menciona las características de los números romanas.
Menciona las características de los números enteros.
Menciona las características de los números racionales.
Menciona las características de los números irracionales.
Menciona las características de los números reales.